فضاهایی که هر زیر مجموعه ی چگال آنها یک فضای بئر است

برای بیان مسئله ابتدا به تعاریفی که در زیر آورده شده اند نیاز داریم: 1 - اگر x یک فضای توپولوژی باشد، a?x را هیچ جا چگال گوییم هرگاه ?)= int(cl a و زیرمجموعه ی a از x را یک مجموعه ی ضعیف گوییم هرگاه a اجتماع شمارش پذیری از مجموعه های هیچ جا چگال باشد. 2 - فضای x را بئر گوییم هرگاه هر اشتراک شمارش پذیری از مجموعه های چگال و باز در x چگال باشد. 3 - فضای x را d- بئر می نامیم هرگاه هر زیرمجموعه ی چگال آن یک فضای بئر باشد. 4 - فرض کنیم x یک فضای بئر باشد الف) x را یک فضای d’-بئر می نامیم اگر هر مجموعه ی با درون تهی یک مجموعه ی هیچ جا چگال باشد. ب) x را یک فضای d’- بئر گوییم هرگاه دارای یک زیرفضای گسسته ی چگال باشد. 5 - اگر x یک فضای توپولوژی باشد، ?- جبر تولید شده توسط همه ی مجموعه های باز و همه ی مجموعه های هیچ جا چکال را با pb(x) نمایش می دهیم. 6 - فضای توپولوژی x را تجزیه ناپذیر موروثی می نامیم اگر هر زیرمجموعه ی باز از x تجزیه ناپذیر باشد؛ یعنی، نتوان آن را به صورت اجتماع دو مجموعه ی مجزای چگال نوشت. در این پژوهش قصد داریم فضاهای d- بئر؛ یعنی، فضاهایی که در آن ها هر زیرفضای چگال، یک فضای بئر است را مورد مطالعه قرار دهیم. فضاهای توپولوژی بسیار زیادی وجود دارند که دارای خاصیت فوق هستند، به عنوان مثال فضاهایی که دارای یک زیرمجموعه ی باز گسسته باشند دارای این خاصیت می باشند، مثلاً توسیع موضعاً فشرده و هاسدورفِ یک فضای گسسته. هر تقریباً p- فضای بئر نیز یک فضای d-بئر است. در این نوشتار مشخصه سازی های مختلفی برای فضاهای d-بئر ارائه خواهیم داد. همچنین یک شرط کافی برای این که یک فضای d-بئر، متریک پذیر باشد پیدا خواهیم کرد. در انتها خواصی را به دست خواهیم آورد که تحت ضرب متناهی و توابع پیوسته و باز حفظ می شوند. در ادامه بعضی از نتایج را به طور خلاصه بیان می کنیم. ? فرض کنیم x یک فضای بئر باشد. در این صورت x یک فضای d-بئر است اگر و تنها اگر هر g?- مجموعه با درون تهی در x یک مجموعه ی هیچ جا چگال باشد. ? هر تقریباً p-فضای بئر یک فضای d-بئر است ? برای یک فضای x، گزاره های زیر معادل اند: (1) x یک فضای d-بئر است. (2) x یک فضای بئر است و هر g?-مجموعه با درون تهی، هیچ جا چگال است. (3) هر زیرمجموعه ی ضعیف a?x هیچ جا چگال است. (4) x بئر است و هر -g? مجموعه، درونِ چگال دارد. (5) x بئر است و هر مجموعه در خانواده یpb(x) با درونِ تهی، یک مجموعه ی هیچ جا چگال است. (6) x بئر است و هر مجموعه ی بورل با درونِ تهی، یک مجموعه ی هیچ جا چگال است. (7) x بئر است و اجتماع یک g? -مجموعه با درون تهی و یک مجموعه ی ضعیف از x هیچ جا چگال است. ? هر زیرمجموعه ی باز یک فضای d-بئر یک فضای d-بئر است. ? هر فضای d’-بئر یک فضای d-بئر است. ? با فرض v=l، مجموعه ی نقاط منفرد یک فضای d’-بئر در آن فضا چگال است و بنابراین v=l نتیجه می دهد که یک فضا d’-بئر است اگر و تنها اگر d’’-بئر باشد. ? هر فضای متریک d-بئر، یک فضای d’’ -بئر است. ? فضای توپولوژی x، یک فضای d’ - بئر است اگر و تنها اگر x یک فضای بئر و تجزیه ناپذیر موروثی باشد.